Simulationskurse

Kurse zu Neurowissenschaften
Kurs 1: Einführung in die Neurobiologie
Kurs 2: Simulation des "Frosch-Nerven-Versuchs"
Kurs 3: Künstliche Neuronale Netze

Weitere Kurse zur Biologie
Kurs 1: Moleküldynamik für biologische Anwendungen
Kurs 2: Dynamische Systeme in der Biologie

Kurse zur Physik
Kurs 1: Das virtuelle Physiklabor
Kurs 2: Dynamische Systeme in der Physik

Kurse zur Mathematik: stochastische Simulationen
Kurs 1: Die Erzeugung von Pseudo-Zufallszahlen:
Der Lineare Kongruenz-Generator und statistische Tests
Kurs 2: Eine Alternative zum Linearen Kongruenz-Generator:
Der Inverse Kongruenz-Generator
Kurs 3: Erste stochastische Simulationen
Kurs 4: Weitere stochastische Simulationen
Kurs 5: Eine Einführung in die stochastische Finanzmathematik:
stochastische Simulationen von Aktien und die
Optionsbewertung nach Black-Scholes

Kurse zu Neurowissenschaften

Kurs 1: Einführung in die Neurobiologie

In diesem Kurs vermitteln wir die  Grundlagen der Neurobiologie und hierbei vor allem der Neurophysiologie. Es werden elektrophysiologische Messungen an Nerven- und Sinneszellen simuliert. Vor jedem Simulationsversuch erklären wir die erforderlichen theoretischen Grundlagen: Aufbau eines Neurons, das Messen und Entstehen von Ruhe- und Aktionspotentialen, Synapsenübertragungen, Reiz-Reaktionsschemata, Sinneszellen und Reflexe sowie im Speziellen der Hör-, Gleichgewichts- und Sehsinn. Simuliert werden intrazelluläre Reizungen des Axons, die Reizung von Haar- und Lichtsinneszellen, neuronale Verrechnungen und eine chemische Synapse. Wir verwenden die Simulationssoftware aus dem Kurs "Neurobiologie" der Reihe "NATURA Simulationen" des Klett-Verlages.
Der Kurs soll auf weiterführende Kurse aus dem Bereich der Neurobiologie und Schülerpraktika in diesem Bereich thematisch vorbereiten und steht auch Schülern der Mittelstufe bereits offen.

Kurs 2: Simulation des "Frosch-Nerven-Versuchs"

Extrazelluläre Ableitung eines Summenaktionspotentials (SAP) am Nervus ischiadicus des Krallenfrosches (Xenopus laevis) 

Der Kurs baut inhaltlich auf dem Kurs "Einführung in die Neurobiologie" auf. Mit Hilfe des Programms SimNerv aus der Reihe Virtual Physiology des Thieme-Verlages simulieren wir die folgenden Experimente:

• Bestimmung der relativen und absoluten Refraktärzeit 
• Abhängigkeit der SAP-Amplitude von der Reizstärke 
• Monophasisches SAP nach Abbinden des Nerven 
• Abhängigkeit der SAP-Amplitude von der Reizdauer 
• Anodenöffnungserregung als Funktion der Reizdauer

Vorher wird die Präparation des Nervus ischiadicus durch Videofilme innerhalb des Programms demonstriert. Die Präparate erhalten bei jedem Programmstart ein neues Eigenschaftsprofil. Zusammen mit der realistischen Darstellung des Versuchaufbaus erhält man so einen sehr authentischen Eindruck des präparativen Frosch-Nerven-Versuchs. Das verwendete Programm wird häufig im Medizin -und Biologiestudium eingesetzt. Vor diesem virtuellen Praktikum vermitteln wir die erforderlichen theoretischen Grundlagen aus der Tierphysiologie, mit stärkerer Betonung auch der physikalischen Aspekte im Vergleich zum Einführungskurs.
Die Voraussetzung für die Teilnahme ist die vorherige Teilnahme an dem Kurs "Einführung in die Neurobiologie".

Kurs 3: Künstliche Neuronale Netze

In diesem Kurs vermitteln wir den Schülern die Grundideen der Arbeitsweise künstlicher neuronaler Netze und die mathematischen Hintergründe. Ebenso wird aber auch die neurophysiologische Motivation dargestellt: Wechselwirkungen zwischen Axonen, Dendriten und Synapsen in realen neuronalen Systemen werden in künstlichen neuronalen Netzen abstrahiert. Vorgestellt werden zunächst die klassischen, überwacht lernenden neuronalen Netze wie das Perzeptron, der Backpropagation-Algorithmus, RBF-Netze und Hopfield-Netze. Danach werden unüberwacht lernende (selbstorganisierende) Netze wie die Self Organizing Maps ("Kohonenkarten") sowie das Reinforcement Learning vorgestellt. Die Schüler lernen Anwendungen aus dem Bereich der Mustererkennung, der Statistik (Klassifikation von Daten) und der künstlichen Intelligenz kennen. Damit die Schüler im Kurs einfache neuronale Netze wie das Perzeptron zum Teil selbst programmieren können, erhalten sie zunächst einen halbtägigen Einführungskurs in die Programmiersprache C.

Weitere Kurse zur Biologie

Kurs 1: Moleküldynamik für biologische Anwendungen

Biologische Funktionen von Proteinen und Peptiden gehen auf atomarer Ebene mit Änderungen der Konformation einher und lassen sich durch Bindung an passende Liganden und Inhibitoren auslösen oder unterdrücken. Solche dynamischen Vorgänge spielen eine entscheidende Rolle im Reaktionspfad von Bioproteinen sowie für die Wirkungsweise neuer Medikamente. Sie sollen in vereinfachter Form durch Simulationen im Computer nachvollzogen und so den Schülern näher vermittelt werden.  Im Kurs stellen wir zunächst die Newtonschen Bewegungsgleichungen und die empirischen Potentialfunktionen kurz vor. Die Moleküldynamik wird als Simulationstechnik in einen größeren Kontext eingeordnet. Wir präsentieren Anwendungsbeispiele aus der Forschung. Dann können die Schüler selbst aktiv werden: Sie machen mit Hilfe der Funktionen des eingesetzten Programmpakets VMDL kleinere moleküldynamische (virtuelle) Experimente. Die Schüler können zum Beispiel versuchen, reine Kristallschichten durch langsame Erniedrigung der Temperatur zu erzeugen oder beobachten, wie sich Doppellipidschichten bilden und zerstört werden können. Bei diesen moleküldynamischen Simulationen können die Schüler jeweils die Parameter verändern und die Auswirkungen untersuchen.

Kurs 2: Dynamische Systeme in der Biologie

Wir modellieren in diesem Kurs zeitabhängige Prozesse aus dem Bereich der Biologie mit Differentialgleichungen. Die Lösungsfunktionen werden in Form des klassischen Eulerschen Differenzenverfahrens diskretisiert und simuliert. Die Schüler haben die Möglichkeit, einige der Simulationen auf einer Excel-Oberfläche selbst zu programmieren und anschließend eigenhändige Parameteranpassungen vorzunehmen, die zu einer Optimierung des jeweils modellierten Problems führen. Betrachtet werden

• klassische Räuber-Beute-Modelle mit logistischen Wachstumsprozessen, auch mit vier Populationen 
• die Bestimmung optimaler Fischfangquoten 
• die Reaktionsaufklärung bei einer Synthese (von Furfural) 
• die optimale Sterilisation von Lebensmitteln 
• die optimale Strategie beim Einzelzeitfahren (Radrennen).

Die Ideen sind entnommen aus dem Buch "Mathematisches Modellieren für die Sekundarstufe II" aus der Reihe "[EinsPlus]: Begabung fördern im Mathematikunterricht", geschrieben von Prof. Martin Kind von der TU Darmstadt. Genaueres zu dem Buch erfährt man hier.

Kurse zur Physik

Kurs 1: Das virtuelle Physiklabor

Viele Vorgänge in Natur- und Ingenieurwissenschaften lassen sich mathematisch durch eine sogenannte Differentialgleichung beschreiben,  bei der die räumliche und/oder zeitliche Änderung einer Größe durch die entsprechende Ableitung ausgedrückt wird. Beispiele sind die Ausdehnung  eines Körpers unter Last (Federexperiment), die Auslenkung einer Membran oder die Temperaturverteilung in einem Objekt. Dies lässt sich im Computer näherungsweise darstellen, indem der zu untersuchende Körper mit einem Gitter überzogen wird, und die Gleichungen nur noch in den Gitterpunkten erfüllt werden. Dazu ist dann lediglich ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Wir lernen dieses Vorgehen (die sogenannte Diskretisierung) und die anschließende Lösung eines daraus resultierenden Gleichungssystems an einfachen Beispielen kennen.  Anschließend werden unter Zuhilfenahme von femlab allgemeinere Diskretisierungen mittels Dreiecken für Objekte mit komplizierterer Geometrie erzeugt, adaptive Verfeinerungstechniken kennengelernt und kompliziertere physikalische Vorgänge interaktiv untersucht. Beispielsweise simulieren wir die Temperaturverteilung in einer Tasse und die Belastung einer Brücke. Wir versuchen einen möglichst stabilen Kran zu bauen und bestimmen eine Federkonstante mit einem virtuellen Experiment. Zum Schluss stellen wir professionelle Simulationen mit femlab vor, wie etwa einen virtuellen Windkanal.

Kurs 2: Dynamische Systeme in der Physik

Der Kurs ist ähnlich aufgebau wie der Kurs "Dynamische Systeme in der Biologie". Betrachtet werden in diesem Kurs speziell

• die Konstruktion eines Achterbahnloopings
• optimale Tauchgangplanung: Erläuterungen der Gefahren beim Tauchen (Cassion-Krankheit), Vermittlung der Grundprinzipien eines Tauchcomputers 
• Rangierhilfe für einen LKW: Simulation der Fahrlinien beim Rückwärtseinparken mit zweiachsigem Anhänger

Die Ideen sind wieder entnommen aus dem Buch "Mathematisches Modellieren für die Sekundarstufe II" aus der Reihe "[EinsPlus]: Begabung fördern im Mathematikunterricht", geschrieben von Prof. Martin Kind von der TU Darmstadt. Genaueres zu dem Buch erfährt man hier. 

Kurse zur Mathematik: stochastische Simulationen

Kurs 1: Die Erzeugung von Pseudo-Zufallszahlen: Der Lineare Kongruenz-Generator und Statistische Tests

In diesem Kurs geht es um Zufälligkeit und Zufallszahlen allgemein und die Erzeugung von Pseudo-Zufallszahlen mit dem Computer.  Zunächst überlegen wir uns, was die Zufälligkeit eigentlich ausmacht und ob man Zufallszahlen mit dem Computer überhaupt erzeugen kann. Dann wird ein Standardverfahren (der Lineare Kongruenz-Generator) vorgestellt, mit dem sich Pseudo-Zufallszahlen erzeugen lassen. Wir wenden den Linearen Kongruenz-Generator an, um Würfelspiele zu simulieren. Dann entdecken wir aber auch, welche Schwächen der Lineare Kongruenz-Generator hat. Um unser Vorgehen zu objektivieren, wird ein weit verbreitetes statistisches Testverfahren (der Chi-Quadrat-Test) in didaktisch aufbereiteter Form eingeführt, mit dem sich die Qualität von Pseudo-Zufallszahlen feststellen lässt.  Zum Schluss überlegen wir uns, wie man die Qualität verbessern kann.

Die Themen in Stichworten:  

• Kann man so etwas wie Zufall überhaupt auf dem Computer erzeugen?  
• Historischer Überblick: Wie wurden früher Zufallszahlen erzeugt, als es noch keine Computer gab?
• Erzeugung eigener Pseudo-Zufallszahlen mit dem Linearen Kongruenz-Generator
• Transformationen von Zufallszahlen: Wie finde ich für ein konkretes Problem (z.B. eine Würfelsimulation) geeignete Zufallszahlen?
• Kritische Auseinandersetzung mit den erzeugten zufälligen Folgen: Aufdecken von Schwächen durch Visualisierungen und statistische Tests
• Verbesserungen durch Kopplung von Zufallszahlengeneratoren 

Kurs 2: Eine Alternative zum Linearen Kongruenz-Generator: Der Inverse Kongruenz-Generator

Der Kurs baut auf dem vorhergehenden Kurs zum Linearen Kongruenz-Generator auf. Wir stellen ein verwandtes Verfahren zur Erzeugung von Zufallszahlen vor.  Die Zufallszahlen, die damit erzeugt werden, sind in vielerlei Hinsicht sehr viel besser als die des Linearen Kongruenz-Generators, da die Hyperebenenstruktur in den mehrdimensionalen Darstellungen verschwindet.  

Die Themen in Stichworten:

• Kongruenzrechnung, Euklidischer Algorithmus und Berechnung des größten gemeinsamen Teilers
• die Berechnung von multiplikativen Inversen in Primkörpern
• Untersuchung der Periodenlänge beim Inversen Kongruenz-Generator 
• Besprechung und Visualisierung der schönen Eigenschaften des Inversen Kongruenz-Generators: Was hat sich im Vergleich zum Linearen Kongruenz-Generator verbessert?
• Implementierung des Algorithmus in Visual Basic

Es handelt sich um einen mathematisch sehr anspruchsvollen Kurs. Um an dem Kurs teilnehmen zu können, muss man zuvor den Kurs "Erzeugung von Zufallszahlen: Der Lineare Kongruenz-Generator und Statistische Tests" belegt haben.

Kurs 3: Erste stochastische Simulationen

Dieser Kurs bietet eine Einführung in die stochastische Simulation, verbunden mit ersten  Anwendungen, vorwiegend aus dem erweiterten Bereich der Schulmathematik. Wir beantworten die Frage, was überhaupt eine stochastische Simulation (im Vergleich zu einem echten Experiment oder einer rein mathematisch-analytischen Untersuchung) ausmacht und wofür man stochastische Simulationen einsetzen kann. Wir programmieren mit Hilfe von Pseudo-Zufallszahlen eine Simulation der Binomialverteilung mit Hilfe des Galton-Bretts, die klassische Monte-Carlo-Simulation zur Schätzung von π, Simulationen zur Schätzung von Erwartungswerten am Beispiel der "Entenjagd", das berühmte Ziegenproblem und vieles mehr.

Die Themen in Stichworten:

• Stochastische Simulationen: Was ist das und wofür braucht man das?
• Simulation einer Bernoulli-Kette (Simulation einer Binomialverteilung) mit Hilfe des Galton-Bretts inklusive Anwendungsbeispiel
• Geometrische Wahrscheinlichkeiten: klassische Monte-Carlo-Simulation zur Schätzung der Kreiszahl π, Programmierung auf der Excel-Oberfläche
• Simulation von Erwartungswerten: die Entenjagd
• die Würfelschlange
• das Ziegenproblem: Plausibilisierung durch stochastische Simulation, theoretische Hinterfragung und eigene Programmierung in Visual Basic

Es handelt sich um einen relativ elementaren und und anwendungsbezogenen Kurs. Programmierkenntnisse sind nicht notwendig; alles Nötige wird im Kurs vermittelt.

Kurs 4: Weitere stochastische Simulationen

Dieser Kurs baut auf dem Kurs "Erste stochastische Simulationen" unmittelbar auf und liefert weitere interessante Probleme, die mit Hilfe stochastischer Simulationen gelöst werden können. Wir möchten in diesem Kurs auch komplexere Problemstellungen (in kleineren Projekten, in Einzel- oder Gruppenarbeit) programmieren. 

Die Themen in Stichworten:

• Das Stockproblem: Simulation von geometrischen Wahrscheinlichkeiten
• Das Buffon'sche Nadelexperiment und der Vergleich zweier Monte-Carlo-Simulationen anhand der Stichprobenvarianz
• Random Walks (Irrfahrten): Ruinwahrscheinlichkeiten und Rekurrenzeigenschaften
• Simulativer Vergleich mehrerer Spielstrategien beim Mini-Kniffel
• Simulative Ermittlung eines Erwartungswertes beim Mini-Monopoly
• Ein Lotterieproblem: Simulation und theoretische Erörterung der hypergeometrischen Verteilung

Um an dem Kurs teilnehmen zu können, muss man zuvor den Kurs "Erste Stochastische Simulationen" belegt haben.

Kurs 5: Eine Einführung in die stochastische Finanzmathematik: stochastische Simulationen von Aktien und die Optionsbewertung nach Black-Scholes

In diesem Kurs lernen die Schülerinnen und Schüler die Grundlagen des Aktienhandels sowie spezielle Finanzderivate wie europäische und amerikanische Optionen kennen. Das Binomialmodell dient als erstes einfaches Modell dazu, die simulative und rekursive Bewertung solcher Optionen zu begreifen. Wir führen die Normalverteilung als Grenzverteilung der Binomialverteilung ein und erläutern ihre Rolle in der Finanzmathematik am Beispiel der Log-Returns der T-Aktie. Den Schülern wird beigebracht, wie man normalverteilte Zufallszahlen erzeugt, wie man mit ihrer Hilfe Aktienverläufe simulieren und wie man daraus faire Optionspreise ermitteln kann. Sie schätzen mit statistischen Methoden eine (Jahres-)Volatilität der T-Aktie. Abschließend wird die berühmte geschlossene Formel von Black und Scholes zur Ermittlung fairer Preise für europäische Optionen vorgestellt, die den Nobelpreis für Ökonomie einbrachte. Anhand eines Programms können die Schülerinnen und Schüler den Einfluss sämtlicher Marktparameter auf den Optionspreis experimentell feststellen und interpretieren.  

Die Themen in Stichworten:

• Grundsätzliches über Aktien, die Börse und Optionen
• Das Binomialmodell: Rekursive und simulative Bestimmung fairer Optionspreise im zeitdiskreten Modellrahmen
• Der zentrale Grenzwertsatz: die Normalverteilung als Grenzverteilung der Binomialverteilung
• Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen
• Untersuchung der Log-Returns der T-Aktie
• stochastische Simulationen von Aktienkursen und simulative Bestimmung fairer Optionspreise im zeitstetigen Modellrahmen
• Schätzung der historischen Volatilität der T-Aktie
• Vorstellung der berühmten Formel von Black und Scholes
• Experimentelle Untersuchung der Einflüsse der einzelnen Marktparameter